中西古代数学的异同
1.从中西古代数学文化史的比较分析中，形成了中西古代数学的两种倾向:逻辑演绎的倾向和机械化算法的倾向。它们在功能和结构上的差异主要是由文化系统所赋予的文化层次和价值取向的差异造成的，这两种倾向的对立统一构成了数学本身内在的矛盾运动和发展动力。
数学文化史的研究表明，古代人类数学作为文化系统中运行和表现的子系统，从一开始就具有双重功能(或双重特征)，即数量功能和神秘功能(注:王显昌《数学与人类文明》，延安大学出版社，1990，第58-70页。)。但是，不同民族文化中的数字或数学在特定的文化氛围中具有一定的神秘性，不同民族文化中数学神秘性的发展路径是不同的。
在古希腊文化的发展中，原始数学始终沿着神秘与数量双重功能统一传承的轨迹发展。古希腊数学与神秘的结合，使他们追求数学的绝对性和从宗教、哲学层面解释世界的普遍地位，这是古希腊数学完全脱离实际问题，追求逻辑演绎的严密性的文化背景。
公元前8世纪古希腊人失去象形文字，采用腓尼基拼音字母时，吸收了埃及和巴比伦的数学成就。此时的古希腊数学实际上是古希腊原始数学神秘主义与埃及、巴比伦数学的结合，创造了广泛的数学体系、数学运算、数学方法的神秘解释。这种文化传统是古希腊数学具有强烈的神秘功能以及后来具有宗教和哲学特征的根本原因。毕达哥拉斯学派给数学赋予了宗教色彩，其“一切都是数”和追求“数的和谐”的理念将数学的这两种功能牢牢地结合在一起，并使之共同运作和发展。在古希腊最有影响的大哲学家柏拉图的唯心主义哲学中，数学的神秘和数量意义演化为一种哲学上的数学理性，直到亚里士多德认为“数是宇宙中的一切”(注:亚里士多德，《形而上学》，中译本，商务印书馆，1984，1986a。)，古希腊借助数学解释一切的文化传统使数学成为具有文化意义的理性基础。在古希腊和西方的天文学、医学、逻辑学、音乐、美术、宗教和哲学中，数学都在发挥着理性的解释作用，并且随着西方文化的发展而不断得到继承和加强。基督教神学逐渐吸收了古希腊用数学解释世界的文化传统。在托马斯·阿奎那(1225-1274)的努力下，以数学为理性模型的自然科学和数学产生的各种概念与神学相结合，使数学成为当时自然和神学知识相结合的大厦的基石(注:丹皮尔《科学史》，商务印书馆)。)。文艺复兴时期古希腊数学理性的回归，让欧洲人知道大自然是按照数学方法设计的，数学被视为唯一的真理体系。“这个理论启发了16、17甚至18世纪数学家的工作。寻找自然的数学规律是一项虔诚的工作，为了研究上帝的本性和做法以及上帝安排宇宙的计划”(注:m .克莱因《古今数学思想》，中译本，上海科学技术出版社，1979，第252页。)。直到今天，西方著名科学哲学家波普尔仍然认为《几何原本》是对当时的宇宙和物理学理论给予“一切物理解释和论述”的基本工具(注:波普尔《猜想与反驳》，上海译文出版社，1986，第123页)。)。英国哲学家、数学家罗素认为，在西方文化中，“数学是我们信仰永恒严格真理的根源。”(注:罗素《西方哲学史》(上)，商务印书馆，1983，第64页。他进一步总结道:“数学与神学的结合始于毕达哥拉斯，它代表了希腊、中世纪乃至康德现代宗教哲学的特征。”(注:罗素《西方哲学史》(上)，商务印书馆，1983，第64页。)
因此，在数学文化史的意义上，起源于古希腊的西方数学不仅是一个具有数学意义的运算系统，而且是一个在文化系统中起主导作用的理性解释系统，或者说是理性建构的规范模型。在西方文化中，西方数学解释宇宙的变化，引导理性的发展，参与物质世界的表达。任何学科的建设都必须按照文化理性的要求模仿和运用数学模型。用数学解释一切，是西方数学在其适应的文化中获得的价值观念。
在中国文化的发展中，中国古代数学计算的机械化操作所形成的计算体系，源于竹签操作作为原始数学在历史进程中的演变。
在古代，中国是一个使用竹签作为特殊物体来进行数字和数学运算的国家。中国古代数学具有外算和内算的双重功能，即“数万物”的算术功能和神秘主义的解释功能(注:余《论中国古代数学的双重意义》，载《自然辩证法通讯》第4期，1992。)。竹签不仅是中国的原始计数，也是一些神秘事物的表征。比如中国原始巫术中的蓍草，用竹签或者类似竹签的彩排来表现某种神秘感。《周易》中的“拍击”法是原始数学的代表性运算和表现，却表现出一种神秘的解释形式。与古希腊用一种理性来表达其解释力，没有具体例子来表达其量化解释意义不同，中国的原始数学从一开始就以竹签的预演形式蕴含了其神秘性和量化特征。它是《周易》的竹签预演系统，由以神秘为主要特征的竹签占卜，逐渐演变为以数量特征为主要特征的计算运算系统，依靠在实际生产生活中编造一些具体事例来表现自己。中国原始竹签排练的这种变化，使得策划失去了神秘的主位，从而失去了作为宗教和哲学的思维研究方向的潜力。所以规划不可能有西方数学那种用数学理性解释一切的价值取向。在中国文化的特定氛围中，规划主要作为一种纯粹的数量意义成为适应这种文化意义的技能，并发展成为一种计算运算的发达技术。从文化系统的角度来看，计算是用量变的意义来解释实际问题的应用子系统。一般来说，策划不直接参与理性描述。可以说，在中国文化中，善于在各种范畴中解释“形而上”问题的数量，制定解决问题的各种算法，常常把“理”放在“法”中。理论与计算相结合的特点，赋予了规划解释“形而上”问题的文化功能。因此，数学的价值观念是通过技能的发展而实践的，而不是理性的思辨。刘徽在《九章注序》中非常明确地规划了《周易》解释下的术数运用的位置:“从前包家为顺应六爻之变，开始画八卦以明神明之德，作九九之术。”在中国文化中，策划的价值取向是基于“六变”含义的应用技巧，通过快速、准确、简洁地解决具体问题，发展自身的运作和表现。
因此，中国古代数学不仅没有在宗教和哲学层面形成自己的思维方法和结构形式，反而形成了专门研究具体数学问题的特点。中国古代数学在文化传统中的价值取向是，在计划和运算的机械重复条件下，尽力构造一种简洁的运算方法，准确、快速地解决实践中提出的具体问题。
中国传统价值观和计算的技术价值取向决定了中国古代数学的发展和建构模式。计算数学的这种价值取向保证了中国古代数学机械化特点的发展方向，数学的实际应用水平不断发展，机械化计算技术和水平不断提高。中国古人借助这一特殊工具，将各种实际问题分门别类，进行有效的整理和演绎，在比算法、“方程”术、平方根术、切圆术、大求导术、天元术、四元术、积差术等方面取得了辉煌的成就，在宋元时期达到了数学的高潮。元代以后发展起来的珠算制度，是计算制度的发展、改革和延续。可以说，中国传统数学是以计算体系为主线，旨在提高机械化计算技术解决实际问题。同时，文化价值观的传统特征也造就了一批将数学作为一种技能传播和发展的人，这是推动数学机械化发展的人才优势，尤其是在相对稳定的文化环境中，其传统价值观发挥了重要作用。
从文化价值体系的发展阶段分析，中国的计算体系和模型在宋元时期达到了数学的顶峰，在很大程度上算法的机械化达到了最高水平。贾宪的三角和乘除法是九章以来求根程序的重大改进和创造，秦的正反求根法将乘除法发展到了非常完备的境地，其重大推导和求术也在历代“上元纪年”计算的基础上，将“物不明”问题的解决发展到了最通用的机械化程序。叶莉的天球技术是对数列方程算法的重大改进和突破，也是几何代数的完美体现。向多元高次方程发展是求解一般高次方程的必然结果和要求。所以在宋元时期，中国的算法机械化达到了前所未有的高度，这与传统数学文化价值观的要求是一致的。它是中国规划文化安排模式和转换技术经过长期积累后的自然发展。快速、准确、简洁地解决一个具体问题，是我国规划系统数学计算的必然趋势和结果。
当然，中国古代数学也不是没有理性的研究和创造。中国古代数学的准备体系和机械化特点决定了它不可能像欧几里得的《几何原本》那样形成一个完整的演绎逻辑体系。但由于备课本身的直观揭示、模型的结构特点和运算安排的特殊结构和形式，决定了中国古代数学是以解决实际问题为目的的抽象建模方法和化归方法，概括出解决一大类问题的一般原理和原则，决定了归纳法和演绎法的有机统一。因为中间计算中的“融理入算”，往往意味着“融理入法”，所以很多中间计算算法，如减法、变易、余缺、割圆术、方程、大求导等，都有“不证自明”的效果，几何问题也与几何代数相结合。平方根、平方根、求解高次方程的方法都是从几何模型中推导出来的。从图形测试法到宋元的分段法，本质都是一样的，只是强调的是明确算法的合理性而不是几何关系。
第二，对中国古代代数学时的评价不应以西方数学的评价模式和价值标准为标准。
从中西古代数学文化史的比较分析可以得出，中西古代数学在功能和结构上的差异主要是由文化体系赋予它的文化层次和价值取向的差异造成的。可以说，西方数学著作的结构模式和理性作用在中国文化中是不会出现的。因此，在古今数千年的数学发展中，不可避免地形成了中西数学在不同时期和地区的两种倾向:逻辑演绎的倾向和机械化算法的倾向。以古希腊欧几里得《几何原本》为代表的逻辑演绎倾向和以《九章算术》为代表的机械化算法倾向相互作用，“轮番执政”，以各自的结构模式、思维方式、运算规律和结构特征，共同为世界数学的发展做出贡献。
从数学文化史的角度来看，中国以应用为导向的操作和运算体系，孕育了中国古代数学算法机械化的成功。中国数学以其不同于西方数学的独特风格和特点，在中世纪数学史和文明史上一度占据世界数学研究的焦点，辉煌的古希腊数学衰落之后，一直到14世纪初。中国传统数学的辉煌成就标志着计算制度下机械化算法的巨大成功，而元中期珠算和珠算的应用和发展是中国机械化算法制度的延续，是计算工具的重大改进和发展，是计算技术变革的历史必然。珠算的推广应用大大提高了计算速度和效率，简化了机械化操作程序和繁琐步骤，适应了农业、手工业和商业发展对数学中大量复杂计算的实际需要。因此，算盘和珠算的出现、普遍应用和发展，不仅是中国传统数学创造的伟大发明，也是对世界科技和文明的巨大贡献。
但是，关于中国传统数学和西方数学对世界科技文明的贡献，长期以来，人们使用的数学评价标准大多是西方数学中形成的西方中心主义。这个中间派认为，当代数学的伟大成就，是从古希腊开始，沿着唯一的称王之路发展起来的。没有严格演绎的知识不能算是科学，只有西方数学与其他学科的关系才是现代科学发展的关键必要条件。
西方中心主义判断标准的理论基础是西方数学哲学，它自觉不自觉地把西方数学的思维方式和价值标准作为评价世界不同国家和地区数学(包括中国传统数学乃至东方数学)和科学的唯一标准。从数学文化史的研究来看，这种判断和比较并不是在中国古代数学理性思辨的基础上形成的，而是忽略了中国竹简数学的演变与西方数学的文化差异。这种简单直接的中西古代数学比较，至少会使人们在两个问题上产生误解:
第一，用西方数学价值观来评判中国古代数学，混淆了中西古代数学文化层次和价值取向的差异，变相否定了中国古代文明创造过程和结构形式的文化意义，从而否定了中国古代数学作为计算体系下的算法机械化及其成就。
从西方数学的模式来判断计算在人类文明和现代科学发展中的作用，至少有三个理论难点:
首先，一些学者受西方中心主义或其变种的影响，不顾最起码的编年史，不顾一个数学内容在不同文化传统中的不同表述，制造了各种中学“向西方学习”的神话，企图将中国排除在世界数学发展的主流之外。同时，他们认为只有经过严格演绎的知识才能被视为科学。据此，今天的物理和化学都不科学，这当然是不合理的。事实上，即使是拥有西方数学价值观的李约瑟博士，也对西方数学模型的价值心存疑虑。李约瑟在比较中西古代代数时明确指出:“科学史家现在已经开始怀疑希腊科学和数学偏爱抽象、演绎和纯理论，而忽视具体、经验和应用。这是一种进步吗？”(注:李约瑟，《中国科学技术史》(第三卷)，科学出版社，1978，第93页。)
其次，西方数学在文化体系(文化层次和价值取向)中的作用是当代数学发展的必由之路这一假设并没有得到检验和证明。在没有充分理解计算和准备的文化意义的情况下，就对计算和准备的作用做出判断，是一种轻率甚至武断的结论。其实质是在计算和编制体系下对中国古代数学的全盘否定。这种简单的比较研究方法当然缺乏人类学意义。事实上，作为人类数学的发展道路之一，中国古代数学思想在数学史和现代数学思想中占有重要地位。中国古代数学不仅像古希腊数学一样代表了不同文化传统的数学形式，而且是人类数学不可或缺的思维方法，是数学家遵循的重要数学思维形式。因为从根本上说，计算是一种计算形式的数学。在计算数学的意义上，计算和逻辑证明是人类数学的两大特征。虽然逻辑证明在西方数学中占主导地位，但我们可以看到计算所起的作用，以及它在西方数学发展史上的重要作用。笛卡尔的解析几何就是微积分，在计算的应用上取得了巨大的成功，在数学史上起到了里程碑的作用，也是计算无穷小量的结果。至于现代计算数学和计算机数学的发展，可以说明在数学发展史上的作用。因此，我们认为计算系统的数学以及由此形成的数学思维方法对整个人类数学的发展产生了巨大的影响。
第三，从数学文化的功能分析，证明了计算、运算、推演之间存在着明显的差异。策划不需要去揣测自身方法的绝对性和宗教哲学意义的解读。策划只关心某些问题的答案，在解决实际问题时只追求快速、准确、正确、简洁。最大限度的发挥自己的特色和优势。人们认为，只有西方数学与其他学科的关系才是现代科学发展的关键必要条件。事实上，如果没有思辨计算的文化意义，把中国不存在的文化功能当作抑制现代科学发展的因素，必然会得出这样的结论:中国古代文明创造并不断发展的基于算法机械化的数学，从一开始就是一个有严重缺陷的体系，是一个天生的“怪胎”，从而中国文明创造了计算的意义。
其次，用西方数学的理性作用来判断计算，否定中国文化中计算的理性作用。
对数学文化史的研究表明，计算是由竹签的原始数学发展而来的，计算的前身很可能是古代占卜用的蓍草，后来改为用竹子制成的小棍，称之为策(注:刘存《大哉衍术》，辽宁教育出版社，1995，第37页)。)。中国文化对计算的选择和古希腊文化对数学的选择是一样的，是一种显示原始数学在文明进程中神秘作用和数量作用的崇拜文化心理，这是两种文化选择神秘作为解释形式的内在一致性。但作为一种差异，古希腊的文化氛围强化了他们对数学理性一贯的、持续的整体信念，并发展为用数学理性解释一切的价值取向；而中国的文化氛围加强了从原始数学的竹签预演形式(周易六十四卦的运算形式)的神秘信仰到计算位置模式的转化，最终使计算以内在的方式表达数学理性，计算与理性相结合、理性与计算相融合、不证自明的特点赋予了计算解释和说明“形而上”问题的文化功能。中国古人产生了一种非常独特的用方向和位置模式表达不同数学意义的数学思维方法，发展成为一种形式数学语言来间接解释算法的合理性。同时，由于计算位置的思维侧重于形象思维，中国的位置计算模式具有直觉思维的效果，更容易发挥其直观、形象、简单、方便的优势，与中国古代强调效率、结果、尊重算法简单、直接、统一的计算机械化相契合。
在人类文明进程中选择理性方式作为解释形式的意义上，一个古代文明对数学数和几何图形的选择或对数字运算形式的选择本身并无区别，只是表现了不同人类文明进程中的差异。西方数学的理性解释形式，在选择和运用这种理性解释体系时，既否定了计算作为一种源于《易经》的数学运算的运算意义，也否定了中华文明的文化创造意义。更重要的是，否认《易经》和《计算》在中国古代文明中的意义，使中国文明成为一个缺乏理性背景的人类文明，从一开始就注定永远落后。特别需要指出的是，这样评价两个文明古国中类似学科的意义，会产生文所批评的那种结果，即世界科学史变成了欧洲的成功史和非欧洲文明的失败史。非欧洲文明即使在历史上取得了成就，在科学的现代化带来复兴之前，也只是具有内在缺陷的暂时成就(注:n .文《中国为什么没有发生科学革命》，载。)。
总之，中西古代数学在其民族文化中的价值观差异是我们在数学史研究中应该高度重视的一个问题。在人类文化的历史中，人们可以发现每个文化系统都有自己特定的数学发展和构建模式。比较古代人类数学，应该从不同文化体系的数学模型中提炼出古代人类数学的共同规律，并以此为价值尺度，客观公正地对其进行评价。中国古代数学是在中国文化中发展起来的，不会也不可能按照西方数学的模式发展。所以我们在评判中国古代代数的时候，不要照搬西方数学的评价。
在中西文化的差异中，我们深刻认识到，西方数学的模式不会也不可能是人类数学的唯一发展模式，西方数学的价值标准不应该也不可能是古代人类数学的唯一评价标准。这就好比n·文茜的问题:“为什么非欧洲文明史总是以它是否或接近早期欧洲科学或近代科学的某些方面来判断？为什么早期欧洲科学不需要测试？”(注:n .文，“中国为什么没有发生科学革命”，《科学与哲学》，第1984+0期。)