？说起平行线，大家应该都不陌生。我们从小学开始就明白了平行线的大致含义。正方形和长方形的相对线是平行线。而我们也是通过正方形和长方形认识的平行线。但是，在没有图形的帮助下，应该如何判断两条直线的关系是否平行呢？对了，说到两条线的关系，你觉得有多少关系？这也需要分类讨论:如果在同一平面上，两条直线的关系不是平行就是相交。有人说:会不会不相交，不垂直？不会，因为直线会无限延伸。如果两条直线在一个平面内不在同一个方向，那么最后，它们一定会相交。但当两条线不再处于同一平面，处于一个三维空间时，就会出现上述情况，它们既不平行，也不相交。你能想象吗？

？(回到主题)因为初中不同于小学的规则，需要严谨的逻辑推理和证明，这也是我们需要重新验证平行线的原因。那么如何判断两条线的平行度(或者说一条线平行于另一条线)？在此之前，我们必须了解平行线的定义。平行线实际上是不相交于一个平面的两条直线之间的对应关系。

然后根据直线的性质，向两边无限延伸，然后看交点就可以判断了？不不不。我们需要更严谨的逻辑推理来证明，在这个过程中，要根据我们之前的经验来得出结论。

？我们的结论是证明平行线。

？猜1:

？首先我用圆规在直线A上随机画两个圆弧(并标出圆心)，然后在直线和圆弧线的交界处，也就是A点和B点，以线段AB为半径，分别在两个地方画圆弧，就在这条线外得到C点。用这个点和圆心的原点，我做一条穿过这两点的直线C，就是a的垂线，既然是垂直的，那么角度1就是90度。同理，如果是垂直的，夹角一定是90度。我用量角器量角度2到93度，至少证明了B线和c线不垂直，根据小学时画的正方形结论(因为正方形有两组平行线)，四个内角不仅相等，而且是90度。90度是什么意思？四个边都是垂直的！所以，平行线有间接的垂直关系。一条直线先垂直于一条，这条垂直于另一条，然后这条平行于原来的直线。这是下图:

？这次我用同样的步骤完成了验证，发现直线C不仅垂直于直线A，也垂直于直线B..而且这次角度1等于角度2，都是90度！所以这次可以判断直线A平行于直线b。

？猜测二:

？其实不用这种方法也能得到A平行于B。这次也用了角度，但不是垂直线和直角的问题。大纲同上，只是验证方法不同。使用三线八角模型，在两条直线处切一条直线。

？那么这个模型如何验证同样的角度呢？图中反映的四个角就是线索。其实猜中1也是用这个模型，只是这次不一样。上次八个角都相等，可以证明是平行线。这次会不一样，八个角度都不相等。那你怎么证明呢？对于图中标注的角，角1与角2的关系与角3和角4的关系相同，都属于内部位错角。顾名思义，就是内部错位角。假设一对内部位错角相等会发生什么？假设这两条线是平行的。测量两个角度后，它们相等(角度4和3都是58度)。由猜想1中的间接垂直验证法判断:

？并行！

？所以如果我不用猜一个，我能证明吗？试想，当直线C顺时针或逆时针旋转时，角度3和4的相等关系会发生变化吗？

？经过测量，角度3和4都是158度。我发现无论直线C怎么旋转，都是改变角3和角4的大小，但唯一不变的是关系——相等！所以，点这里证明平行线！

？那么如果用外面的四个角来猜，是不是也可以证明平行线呢？如果我们只说四个外角，就会有和内角一样的外角。角5和角7是很好的例子，角6和角8也是，真理等于内角。那么如果把外角和内角放在一起会怎么样呢？这是两条直线，也是同一条直线。将直线A垂直平移一定距离后，得到B，两者都与c成一个角，看看角5与角2的关系，再看看6 4，6543 8+0 7，3 8。他们属于同一个职位吗？而如果两条直线平行，一条对角线的度数就会相等，这条对角线叫做同余角。还有，在直线C的左右两侧，有两组关系角，称为“同侧内角”(也有同侧外角)。不像角度不对，两者是同一边的。他们的定律不相等，而是互补等于180度！明白了吗？

？如果按照“因七”和欧几里得的证明方法来证明，则如下:

？已知:所有b

？验证:角度5=角度2

？验证:因为allb

？所以角度1=角度2(内部位错角度相等)。

？因为角度4？角度2=180度，角度1？角度3=180度，角度3？角度5=180度。

？所以180-角度4=180-角度3=角度5=角度2。

？已知:所有b

？验证:角度1？角度4=角度2？角度3=180(互补)

？验证:因为allb

？所以角度1=角度2，角度3=角度4(内部位错角度相等)。

？因为角度4？角度2=180度，角度1？角度3=180度。

？那么角度2呢？角度4=角度2？角度3=180度，角度1？角度3=角度4=180度。

我们从一个条件到另一个条件得出了最后的结论。当你知道如何判断一条平行线时，你就掌握了每一个点，想通了每一种方法，明白了平行线的本质。就像学习分数一样，分数的基本性质会帮助你计算，平行线也是一样。

？外部章节:

？开学后，我们跟随赵俊杰老师的步伐，重新学习了平行线的判断和性质。发现这三种可以确定平行线的方法(或定理)都是用不同的方法得到的。今天我们就来温故而知新，重新认识这三个定理:

？定理1:等位角

？仔细想想，似乎没有什么清晰的推理过程可以得出这个结论。因为这是一个很直观的现象，他没有经过你大脑的加工和思考，是本来的面目。所以，我们不得不将其视为自然界的一种存在，这是毋庸置疑的。如果想了解对方，可以在两条平行线和与它们不断相交的线之间旋转第三条线。通过多次实验发现，在任何情况下，同一角度都是相等的。

？语言描述:一条直线与两条直线相交时，若同余角相等，则后两条直线相互平行。

？定理2:内角等价

？这不是原来的“公理”，因为这个定理是可以通过逻辑思维推导出来的。当然，在已知条件下，它包括等腰角的相等，因为这个定理是在等腰角相等的基础上推导出来的。根据我的图纸，您可以看到以下内容:

？已知角度1等于角度2。

？验证:A与b平行。

？证明:因为角度1=角度2，顶角相等(已知条件)。

？因此，角度1=角度5(等于顶角)。

？所以。角度2=角度5(等价替换)

？所以。allb(相同的角度，两条平行的直线)

语言描述:一条直线与两条直线相交时，若内角相等，则allb。

？定理3:同侧内角的互补性

？这和定理2一样，都是通过逻辑推理推导出来的。互补是指两个角之和等于180度，正好是一个平角的角度。但他有两种方法可以证实。第一个是使用定理1:

？已知角度2与角度3是互补的。

？验证:allb

？证明:因为。角度2？角度3=180，角度5？角度3=180度(已知条件和直角的定义)

？所以。四分之一？角度3=角度2？角度3=180度(等价替换)

所以。角5=角2(同角的余角相等)。

所以。allb(相同的角度，两条平行的直线)

？同时，我们也可以用定理2:

？已知角度2与角度3是互补的。

？验证:allb

？证明:因为。角度2？角度3=180度，角度1？角度3=180度(已知条件和直角的定义)

？所以。角度1？角度3=角度2？角度3=180度(等价替换)

？所以。角度1=角度2。

？所以。allb(内部位错角相等，两条直线平行)

？你清楚了吗？

？我们得到平行线的判定定理后，就可以用该定理来概括平行线的性质。以前我们是用定理来判断平行线的，这次我们就用定理来探究平行线的性质。其实自然是一个定理，正好反过来。其实说白了就是通过“两条直线平行”，下一条得到自己的性质。事不宜迟，加油！

？自然1:

？因为同位角相等的想法是无法用逻辑推理的，它是一种自然现象，所以我们可以通过判断直接得出“两条直线平行，同位角相等”的结论。

？自然2:

？已知:所有b

？验证:角度2=角度1(内部位错角度相等)

证明:因为。已知条件

？所以，角度2=角度5，角度5=角度1(等价替换)。

？所以，角度2=角度1(两条直线平行，内部位错角相等)。

？自然3:

？已知:所有b

？证明:角度2？角度3=180度(与侧内角互补)

？证明:因为。allb，角度3？角度5=180度(已知条件)

？所以。角度2=角度5(不知道)

？所以。角度2？角度3=180度(两条直线平行且与侧内角互补)

？自然4:

？已知:所有b、bllc

？证明:allc(内角相等)

？证明:因为。allb，bllc(已知条件)

？所以。allc(平行于同一直线的两条直线是平行的)

？